PENGERTIAN KOMPETENSI

Kompetensi (competency) adalah kata baru dalam bahasa Indonesia yang artinya setara dengan kemampuan atau pangabisa dalam bahasa Sunda. Siswa yang telah memiliki kompetensi mengandung arti bahwa siswa telah memahami, memaknai dan memanfaatkan materi pelajaran yang telah dipelajarinya. Dengan perkataan lain, ia telah bisa melakukan (psikomotorik) sesuatu berdasarkan ilmu yang telah dimilikinya, yang pada tahap selanjutnya menjadi kecakapan hidup (life skill). Inilah hakikat pembelajaran, yaitu membekali siswa untuk bisa hidup mandiri kelak setelah ia dewasa tanpa tergantung pada orang lain, karena ia telah memiliki komptensi, kecakapan hidup. Dengan demikian belajar tidak cukup hanya sampai mengetahui dan memahami.
Kompetensi siswa yang harus dimilki selama proses dan sesudah pembelajaran adalah kemampuan kognitif (pemahaman, penalaran, aplikasi, analisis, observasi, identifikasi, investigasi, eksplorasi, koneksi, komunikasi, inkuiri, hipotesis, konjektur, generalisasi, kreativitas, pemecahan masalah), kemampuan afektif (pengendalian diri yang mencakup kesadaran diri, pengelolaan suasana hati, pengendalian impulsi, motivasi aktivitas positif, empati), dan kemampuan psikomotorik (sosialisasi dan kepribadian yang mencakup kemampuan argumentasi, presentasi, prilaku). Istilah psikologi kontemporer, kompetensi / kecakapan yang berkaitan dengan kemampuan profesional (akademik, terutama kognitif) disebut dengan hard skill, yang berkontribusi terhadap sukses individu sebesar 40 % . Sedangkan kompetensi lainnya yang berkenaan dengan afektif dan psikomotorik yang berkaitan dengan kemampuan kepribadian, sosialisasi, dan pengendalian diri disebut dengan soft skill, yang berkontribusi sukses individu sebesar 60%. Suatu informasi yang sangat penting dan sekaligus peringatan bagi kita semua.

Read More

SEJARAH KOTA SURABAYA

Bukti sejarah menunjukkan bahwa Surabaya sudah ada jauh sebelum zaman kolonial, seperti yang tercantum dalam prasasti Trowulan I, berangka 1358 M. Dalam prasati tersebut terungkap bahwa Surabaya (churabhaya) masih berupa desa ditepian sungai Brantas sebagai salah satu tempat penyeberangan penting sepanjang sungai Brantas.
Surabaya (Surabhaya) juga tercantum dalam pujasastra Negara Kertagama yang ditulis oleh Prapanca tentang perjalanan pesiar baginda Hayam Wuruk pada tahun 1365 dalam pupuh XVII (bait ke-5, baris terakhir).
Walaupun bukti tertulis tertua mencantumkan nama Surabaya berangka tahun 1358 M (prasasti Trowulan) & 1365 M (Negara Kertagama), para ahli menduga bahwa Surabaya sudah ada sebelum tahun-tahun tsb.
Menurut hipotesis Von Faber, Surabaya didirikan tahun 1275 M oleh Raja Kertanegara sebagai tempat pemukiman baru bagi prajuritnya yang berhasil menumpas pemberontakan Kemuruhan tahun 1270 M. Hipotesis yang lain mengatakan bahwa Surabaya dulu bernama Ujung Galuh.
Versi lain mengatakan bahwa nama Surabaya berasal dari cerita tentang perkelahian hidup dan mati Adipati Jayengrono dan Sawunggaling. Konon setelah mengalahkan tentara Tartar, Raden Wijaya mendirikan sebuah kraton di Ujunggaluh, dan menempatkan Adipati Jayengrono untuk memimpin daerah itu. Lama-lama karena menguasai ilmu Buaya, Jayengrono makin kuat dan mandiri sehingga mengancam kedaulatan Majapahit. Untuk menaklukkan Jayengrono diutuslah Sawunggaling yang menguasai ilmu Sura. Adu kesaktian dilakukan di pinggir Sungai Kalimas dekat Paneleh. Perkelahian adu kesaktian itu berlangsung selama tujuh hari tujuh malam dan berakhir dengan tragis, karena keduanya meninggal kehabisan tenaga.
Kata "Surabaya" juga sering diartikan secara filosofis sebagai lambang perjuangan antara darat dan air, antara tanah dan air. Selain itu, dari kata Surabaya juga muncul
mitos pertempuran antara ikan Suro (Sura) dan Boyo (Baya atau Buaya), yang menimbulkan dugaan bahwa nama Surabaya muncul setelah terjadinya peperangan antara ikan Sura dan Buaya (Baya).
Supaya tidak menimbulkan kesimpang-siuran dalam masyarakat maka Walikotamadya Kepala Daerah Tingkat II Surabaya, dijabat oleh Bapak Soeparno, mengeluarkan Surat Keputusan No. 64/WK/75 tentang penetapan hari jadi kota Surabaya. Surat Keputusan tersebut menetapkan tanggal 31 Mei 1293 sebagai tanggal hari jadi kota Surabaya. Tanggal tersebut ditetapkan atas kesepakatan sekelompok sejarawan yang dibentuk oleh pemerintah kota bahwa nama Surabaya berasal dari kata "sura ing bhaya" yang berarti "keberanian menghadapi bahaya" diambil dari babak dikalahkannya pasukan Mongol oleh pasukan Jawa pimpinan Raden Wijaya pada tanggal 31 Mei 1293.
Tentang simbol kota Surabaya yang berupa ikan sura dan buaya terdapat banyak sekali cerita. Salah satu yang terkenal tentang pertarungan ikan sura dan buaya diceritakan oleh LCR. Breeman, seorang pimpinan Nutspaarbank di Surabaya pada tahun 1918.
Masih banyak cerita lain tentang makna dan semangat Surabaya. Semuanya mengilhami pembuatan lambang-lambang Kota Surabaya. Lambang Kota Surabaya yang berlaku sampai saat ini ditetapkan oleh DPRS Kota Besar Surabaya dengan Putusan no. 34/DPRDS tanggal 19 Juni 1955, diperkuat dengan Keputusan Presiden R.I. No. 193 tahun 1956 tanggal 14 Desember 1956 yang isinya :
1. Lambang berbentuk perisai segi enam yang distilir (gesty leerd), yang maksudnya melindungi Kota Besar Surabaya.
2. Lukisan Tugu Pahlawan melambangkan kepahlawanan putera-puteri Surabaya dalam mempertahankan Kemerdekaan melawan kaum penjajah.
3. Lukisan ikan Sura dan Baya yang berarti Sura Ing Baya melambangkan sifat keberanian putera-puteri Surabaya yang tidak gentar menghadapi sesuatu bahaya.
4. Warna-warna biru, hitam, perak (putih) dan emas (kuning) dibuat sejernih dan secermelang mungkin, agar dengan demikian dihasilkan suatu lambang yang memuaskan.

Read More

ILALANG KAMPUS

http://inart.wordpress.com/files/2008/11/grass_by_jorlin1.jpg

Selamat pagi kampus. Pagi yang gerah walaupun sang fajar masih malu-malu muncul di antara awan yang berarak. Mentari pagi itu membiaskan harapan dengan cahayanya yang lembut. Tapi sering kali ia bohong, janji awal kehidupan yang baik itu, biasanya ingkar ketika siang tiba. Kelembutan sang fajar kadang-kadang berganti menjadi garang dan membakar atau ia malah lenyap dan mempersembahkan hujan lebat.

Cahaya lembut pagi berpadu dengan dingin hingga menghasilkan embun. Titik air di atas daun itu tak pernah tergesa-gesa untuk jatuh ke bumi. Kontras dengan para mahasiswa, dosen dan pegawai di Kampus Merah ini, meski malam baru saja di singkap matahari, mereka telah berarak memenuhi kampus. Mereka menyambut kedatangan keluarga baru, mahasiswa-mahasiwa baru yang dinyatakan lulus dan berhak mengenyam pendidikan di kampus ini, manusia-manusia berpakaian putih hitam. Ingatanku melesat jauh ke tiga tahun yang lalu.

Aku berdiri di sebuah barisan bersama lainnya. Berbagai imaji bergeliat liar di kepalaku ketika itu, di labirin berpikir seorang mahasiswa baru yang baru saja lulus jenjang pendidikan SMU. Seorang siswa yang dengan mulus mampu lulus dari jerat Ujian Akhir Nasional dan dengan keberuntungannya berhasil berstatus mahasiswa Fakultas Teknik Unhas. Kampus, tempat ini telah lama menghiasi mimpi-mimpiku, tempat mahasiswa bergeliat dengan seabrek kegiatannya, berkuliah, berinteraksi dan berbagai kegiatan humanis lainnya.

Kala itu aku berharap dapat menempuh kegiatan akademik dengan menggunakan pakaian bebas, rupanya aku salah. Aku dan juga mahasiswa baru lain masih diwajibkan berseragam seperti ketika di sekolah dulu. Kami di wajibkan memakai pakaian berwarna seragam, putih dan hitam. Tak lama, mungkin sekitar tiga bulan pertama perkuliahan kami.

Mahasiswa-mahasiswa baru, teman-temanku kala itu, tampak beragam. Ada yang menyebut diri mereka adalah anak kota yang dahulu bersekolah di sebuah SMU pusat bukan SMU cabang, istilah yang selalu di gaungkan untuk mereka yang berasal dari sekolah daerah. Meski berasal dari kota yang sama namun mereka tetap beragam. Ada yang terlihat sederhana. Berpakaian seadanya. Berkendaraan umum. Tetapi ada pula yang terlihat mencerminkan masyarakat urban yang berkelas. Pakaian yang bermerk. Gaya berpakaian yang terlihat modern. Bahkan ke kampus dengan kendaraan pribadi. Bahkan terkadang mereka memilih teman, hanya bergaul sesamanya.

Sebagian mahasiswa baru berasal dari daerah. Individu-individu tersebut biasanya menyatu dalam sebuah kelompok berdasarkan asal mereka masing-masing. Beberapa di antara mereka memiliki bekal yang cukup untuk menjadi perantau. Biasanya mereka berasal dari keluarga ekonomi menengah ke atas. Tetapi ada yang hanya membawa mimpi dari sebuah kampung nun jauh disana, dari sebuah desa entah berantah. Secara fisik mereka tampak sederhana tapi dalam pikiran mereka tersimpan angan yang begitu tinggi untuk merubah keadaan menjadi lebih baik. Kelompok terakhir ini yang biasanya mendominasi organisasi kemahasiswaan.

Bagaimanapun keanekaragaman itu, semua menyatu dalam sebuah kegiatan penyambutan Mahasiswa Baru. Satu kegiatan, satu metode, satu sistem untuk beragam individu. Melebur perbedaan menjadi satu untuk menciptakan kebersamaan dan kesolidan. Sebuah proses yang tidak sekedar mengajarkan pengetahuan akademik dan kemampuan intelektual tetapi lebih dari itu kegiatan ini mampu membawaku ke ranah kecerdesan emosi, memberi jalan untuk memahami arti kedewasaan, bahkan membuatku mengerti arti perubahan. Memang kesadaran itu tak datang hari itu juga, namun kegiatan inilah yang membukanya, kegiatan inilah yang memulainya.

Seingatku, beberapa orang yang menyebut diri mereka senior terus berorasi di depan kami, walaupun terkadang kami tak mengerti dengan apa yang mereka sampaikan. Kata-kata mereka tidak familiar di telinga.

Setelah proses penyambutan dinyatakan selesai, di sinilah kami di hadapkan pada beberapa pilihan. Memilih jalan menjadi mahasiswa baru yang datang ke kampus, tidak mencoba menceburkan diri dalam organisasi apapun, belajar, lulus dan setelah itu terserah hendak kemana. Atau mencoba berjuang dengan mengikuti organisasi kemahasiswaan, namun dilakukan setengah-setengah. Atau menjadi mahasiswa yang kritis terhadap keadaan sekitarnya.

Aku tak begitu yakin memilih pintu yang mana di kala itu. Dengan keluguanku, aku mengenyam bahwa mahasiswa punya tanggung jawab sosial. Dengan kepolosanku, aku ingin berjuang dan dengan senang hati akan menceburkan diri dan bergeliat dalam kegiatan organisasi kemahasiswaan. Kharisma serta retorika para senior-senior itu seakan menghipnotisku untuk memikul keharusan moral untuk membuat bangsa ini lebih baik.

Ketika ilalang-ilalang kampus menjemput diri
Sesuatu terpatri lugu dalam sanubari
Kutitip ego saat asa mengikuti
Ego yang membuatku berdiri, berlari dan terus berlari
`tuk menggapai cita dan impian yang pasti

***

Hari terus berlari, minggu bergulir dan bulan pun terus berganti. Tidak cukup setahun aku sudah begitu lekat dengan langkah-langkah seseorang aktivis kemahasiswaan. Kegiatan demi kegiatan aku ikuti, sebagai peserta hingga sebagai panitia. Aku pun semakin giat mencari literatur yang mampu menunjang kegiatan-kegiatanku. Membaca buku dan berdiskusi.

Seiring langkahku yang terus mengayuh, semakin dalam aku selami organisasi kemahasiswaan itu. Namun makin aku hanyut dan tenggelam, makin aku dapati penyimpangan-penyimpangan. Banyak hal yang berbenturan dengan ideologi yang mereka ukir di setiap sel-sel otakku semenjak aku dinyatakan sebagai mahasiswa baru. Mungkinkah karena aku yang terlalu termakan retorika hingga masuk dan terjun ke dunia ini hanya karena ikut-ikutan? Hanya sebagai bentuk aktualisasi diri agar bisa menjadi senior yang berbicara di depan mahasiswa baru yang belum mengerti banyak?

Gerakan mahasiswa laiknya pertarungan dalam kekuasaan negara yang penuh dengan kepentingan. Kepentingan-kepentingan pribadi untuk mencapai ambisi masing-masing. Saat pemilihan ketua lembaga misalnya, semua membawa kepentingan dan isu masing-masing. Kekuatan pikiran digunakan untuk memenangkan calon tertentu agar bisa mendapatkan “sesuatu”. Apakah ada perjuangan yang murni? Entahlah aku tak bisa menjawabnya.

Kebesaran organisasi kemahasiswaan hanyalah masa lalu. Hanyalah dongeng senior. Mahasiswa kini hanya bisa terpukau tanpa bisa memukau. Hanya mengamat tanpa bisa berbuat. Hanya mampu menatap namun enggan melangkah dengan mantap. Terpenjara oleh sejarah. Merasa besar untuk hal yang tidak mereka benah. Hingga akhirnya kehilangan arah.

Organisasi itu sangat rapuh. Bagaimana cara mahasiswa mengemban tugas untuk memperbaiki sistem keorganisasian masyarakat yang katanya sangat rapuh sedangkan sistem organisasinya sendiri jauh lebih rapuh?

Namun semua tetap aku jalani bahkan ikut latah dan menjadi bagian. Makin lama semuanya makin memuakkan. Ada yang mengetuk-ngetuk hati nurani. Bergejolak. Bergolak.

***

Ini adalah gerakan moral yang murni atas dasar keinginan nurani yang terpanggil. Setiap mahasiswa berhak mengenyam dan merasakannya. Termasuk mereka yang berstatus mahasiswa baru.

Setidaknya ada yang terjun atau sengaja di hanyutkan dalam laju gerakan mahasiswa. Tak peduli, apakah suatu hari nanti mereka menyesal ketika menyadari kerapuhan organisasi ini. Tak peduli, apakah suatu hari nanti mereka kecewa ketika mendapati keadaan yang tak seideal dalam bayangan. Tak peduli, apakah mereka merasa terlambat untuk mundur dan mengambil jalur yang lain.

Harusnya ada yang memulainya. Harusnya ada yang membuka pintunya. Harusnya ada yang memudahkan jalannya agar mereka, bibit-bibit baru, tumbuh dan akan mengubah segalanya menjadi lebih baik.
Tetapi ketika prosesi penyambutan mahasiswa baru dicekal, akankah hadir wajah baru? Akankah ada yang akan memahami arti kebersamaan? Akankah ada regenerasi? Akankah ada yang memaknai arti perubahan?

Masih adakah yang akan bertanggung jawab?
Pengkaderan adalah harga mati!

Meskipun dosen pernah mengenyam masa menjadi mahasiswa, tetapi mereka tetap tidak berhak untuk membimbing mahasiswa baru dalam memasuki dunia kemahasiswaan sesungguhnya. Kita beda masa wahai para birokrasi. Kita berbeda masalah dan kita pun berbeda cara untuk menyelesaikan semuanya. Sudah seharusnya suatu proses dan metode penerimaan mahasiswa baru dilakukan oleh mahasiswa, untuk mahasiswa dan kepada mahasiswa. Eksistensi prosesi penerimaan mahasiswa baru oleh mahasiswa harus tetap dipertahankan. Aku sadar, bukan hanya sekedar ajang balas dendam apalagi ajang untuk pamer retorika. Ini adalah sebuah panggilan moral. Prosesi penerimaan mahasiswa baru harus tetap dilaksanakan.
Situasi makin hangat. Aku yakin aku sadar. Aku pun ikut-ikutan aktif pada sebuah demo besar-besaran untuk mengadakan kegiatan tersebut. Sekali lagi aku sadar. Aku berteriak lantang. Berorasi. Terlihat begitu kritis. Dan….

***

Aku kembali ke ruang waktuku dan menyimpan semua nostalgia itu, di sebuah kotak di sel otakku. Kupicingkan mata melihat sebuah pemandangan dari kejauhan. Beberapa aktivis mahasiswa itu berorasi dengan argumentasi yang sangat meyakinkan di depan mahasiswa-mahasiswa baru. Memperlihatkan kharisma yang memesona dan berucap dengan retorika yang begitu indah. Mahasiswa-mahasiswa yang dulu entah kemana.

“Satu kata untuk penindasan, LAWAN!” teriak salah satu di antaranya sambil mengepalkan tangan dan menaikkannya ke udara, lalu di lanjutkan orasi lainnya.

Tutup telinga kalian, wahai adik-adik mahasiswa baru. Tak semua yang kalian dengar itu benar. Aku membatin.

Aktivis-aktivis itu memang banci tampil. Mereka selalu ingin terlihat cerdas. Intelek. Berani. Hebat. Di ruang diskusi mereka selalu tampak meraung-raung padahal obrolan mereka tak lebih dari sekedar debat kusir. Dengan penuh kenikmatan mereka menyeruput kopi lalu menghisap rokok dalam-dalam kemudian menyebarkan polusinya ke udara sembari menyampaikan idealisme-idealisme yang hanya sampai di bibir saja, minus implementasi. Lidahnya menari-nari mengkritisi kaum hedon, menghujat para sapi kapitalis padahal mungkin mereka bagian dari itu. Dan mungkin termasuk aku.

Tak beberapa hari setelah peristiwa demonstrasi di halaman rektorat hari itu, surat keputusan bahwa aku dan beberapa teman lain diskorsing. Kemana mereka saat keputusan itu dikeluarkan? Dimana lidah-lidah tajam itu? Mengapa mereka tidak mengiris para birokrat yang mengeluarkan surat itu? Mengapa mereka tiba-tiba menjadi ompong? Tak ada lagi gemeretak gigi, kehilangan taring kah? Semangat yang membara saat ini, di depan mahasiswa baru yang belum tahu apa-apa, raib kemana saat kami meminta uluran tangan? Ciutkah? Musnahkah? Apakah mereka tak lagi melihat? Butakah? Atau telinganya sudah tak berfungsi lagi? Tulikah?

Mereka tampak begitu takut mengalami hal yang sama seperti yang kami alami. Tapi mereka juga tak punya nyali untuk menolong kami.

Kalian pikir, aku terkesan sinis dan mungkin sangat sarkastis? Aku rasa tidak.
Kami siap jadi korban, kami tak mempermasalahkan itu. Bukankah sebuah perubahan memang memerlukan pengorbanan? Tetapi jatuhnya korban ini, mengapa tak membuat para kaum yang katanya intelektual itu jadi melek? Mengapa mereka tak juga membenahi semuanya?

Angan yang kemarin membesarkan jiwa
Angan yang hadir dalam dialetika keremajaan
Angan yang membuatku terus berkarya
Angan yang tercipta dari keluguan dan kepolosan
Hanya tinggal idealisme-idealisme apologi

Mungkin ini hanya sebuah angan utopis
Yang menciptakan kebahagian semu yang meringis
Yang dipenuhi kata-kata retorika opurtunis
Dengan janji futuristik yang optimis
Yang mengotori telinga dan merusak sel otak dengan sadis

***

Sebenarnya aku sudah muak memasuki kampus ini. Tetapi percakapanku dengan Ahmad, seorang mahasiswa yang terkena sanksi DO, seolah mendorongku untuk kembali, bukan malah berlari. Menjauh. Menghindar. Terlepas. Tetapi berbalik dan menghadapi.

“Yul, kamu lihat ilalang-ilalang itu?”

“Ya!” jawabku singkat dan memandang ilalang-ilalang yang tumbuh liar di tepi danau.

“Mereka memang tampak kompak. Satu ke kanan lainnya ke kanan, satu ke kiri lainnya pun ikut ke kiri. Tetapi bukan ke kompakan seperti itu yang kita cari untuk memperbaiki penyimpangan di sekitar kita. Ilalang-ilalang itu baru bergerak ketika sang bayu berhembus. Bukan karena keinginan sendiri. Tidak punya inisiatif. Hanya mengikuti. Kalau begitu, bagaimana perubahan itu akan menjadi nyata?”

Aku terdiam melumat tiap baris kata-kata Ahmad.

“Kamu mungkin masih lebih beruntung, masih bisa melanjutkan kuliah. Hanya di skorsing. Sedangkan aku?”

“Aku mengerti apa yang kamu rasakan!”

“Kalau kau mau, kau bisa tetap menjadi ilalang, latah dan larut dalam peradaban, punya banyak teman dan membiarkan sang bayu meniupkan jiwamu sesuka hati. Atau kau terlepas dari mereka tetapi mungkin menghadapi kenyataan bahwa kau akan sendiri. “

Ada gejolak yang menggelora, menyesakkan kediamanku. Apakah aku mampu berdiri tegak sendiri? Aku menutup mata, menunduk.

“Pilihan penting dalam hidup ini hanya dua Yul, menerima hidup apa adanya atau menerima tanggung jawab untuk merubahnya. Aku yakin kamu tahu persis pilihan mana yang harus kamu pilih dan aku percaya kamu bisa menghadapi resiko pilihanmu itu!”

Ia seakan menjawab kediamanku.

“Ah… Sudahlah, aku harus pergi, tempatku tak di sini lagi. Paling tidak aku bersyukur pernah mengenyam warna-warni kehidupan mahasiswa.”

“Lalu, kau mau kemana?”

“Terjun dalam denyut kehidupan nyata di luar sana!”

“Bukankah rimba di luar sana jauh lebih ganas?”

“Yah… aku tahu. Dan aku tidak takut itu! Kaum muda seperti kita seharusnya tidak takut, maju dan hadapilah sekeras apapun itu. Ingat, perubahan tidak mungkin ditunggu, ia harus dijemput. ”

Ahmad pun meninggalkanku sendiri di tepi danau. Meninggalkan kata-kata yang masih membekas di palung jiwaku. Dari air danau, aku melihat pantulan bayangan punggungnya mengecil dan akhirnya menghilang. Aku lalu berdiri tegak dan dengan keyakinan melangkahkan kaki kembali memasuki kampus.

Dan kini, pada ilalang-ilalang merah
Aku mencoba membuka sisi kelam
Membuka manipulasi atas nama pergerakan
Kembali membakar semangat tanpa takut kesendirian
Bukan hanya menunggu sang bayu menghampiri sang ilalang…

Read More

Sejarah Matematika dan Perkembangannya

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu benar.

Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.

Filsafat Matematika

Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis, praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan. Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.

Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.

Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.

Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik – sebagai getaran – dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristoteles menekankan, menemukan ‘dunia permanen’ merupakan realita daripada ‘apa yang tampak’. Aristoteles lebih menekankan pada ‘absraksi’ daripada ‘apa yang tampak’. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.

Filsafat Pendidikan Matematika

Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.

Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.

Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan fasilitator.

Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 – 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 – 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.

Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju ketakhingga.

Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan alat-alat elektronik digital.

Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 – 120 perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.

pusat perkembangan matematika berada di Eropa.

Matematika Kontemporer (1850 – Sekarang)
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.

Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya “otak elektronik”, komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.

Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih “mengeraskan” aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut “arimetisasi”

Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai “hipothetico-deductive” dengan cara Euclid.

Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan “metode postulatsional”. Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat “menghasilkan”) sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam.

Permasalahan terakhir adalah masalah “landasan” atau “pondasi” matematika atas mana struktur matematika itu dibentuk.

Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak “hanya” dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.

Perkembangan Matematika

Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.

Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.

Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode “dahulu”, ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”, lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)

Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.

Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).

Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.

Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk ‘makanan’ para pakar matematika. Bagi para pakar matematika ‘murni’ tidak ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).

Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.

Berpikir Matematis

Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.

Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan Hilbert yang paling berpengaruh.

Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.

Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.

Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari perangkat aksioma.

Peran Logika dalam Sistem Matematika

Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk ‘bukti’ yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.

Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak pasti.

Sifat Kebenaran Matematika

Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.

Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.

Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.

Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika

Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.

Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.

Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: ’0′, ‘bilangan’, dan ‘pengikut’ dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.

G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. ‘Bilangan 2′ dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna ‘biasa’. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2 didefinisikan sebagai berikut: “Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y” Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.

Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris

Tiga term primitif Peano adalah ’0′, ‘bilangan’, dan ‘pengikut’, dapat diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif ‘bilangan’ diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, … Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan ‘aksioma pilihan’ dan ‘aksioma infinit’. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.

Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang eksplisit.

Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.

Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua ‘teori proporsi’ model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.

Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya ‘infinitesial’. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep ‘limit’. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.

Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.

Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.

Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum ‘excluded middle’ dan hukum ‘kontradiksi’ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.

Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum ‘excluded middle’ jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.

Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan ‘teori bukti’ untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis menghasilkan karya monumentalnya “Grunlagen der Mathematik:”, jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert ‘tak dapat ditentukan’, bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.

John von Neumann (1903 – 1957)

John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan “pemenang” dalam permainan pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.

Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam pengembangan energi atom.

Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.

Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.

Geometri Aksiomatis dan Empiris

Geometri Aksiomatis
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk ‘sementara waktu’, atau ‘sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru’. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun ‘untuk selama-lamanya’. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.

Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat ‘terletak’ dan ‘antara’. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk ‘mengganti’ postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.

Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.

Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.

Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi teorema yang bermakna – pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term ‘segitiga’ adalah term dalam geometri murni, sedangkan term ‘daerah segitiga’ adalah term dalam geometri fisik. Term-term ‘persegi kertas’, ‘persegi kerangka’ adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.

Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang perlu divalidasi adalah P dan bukan G.

Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.

Matematika sebagai Metode dan Seni

Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).

Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.

Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.

Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.

Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.

Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya “Everyman’s Genius” mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang tanpa akhir.

Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain. Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap; dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya, dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti “Metropolis of Tomorrow”nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, “membangun musik, maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu selalu membangun”. Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya
Sumber buku Hakikat dan Sejarah Matematika Karya Sukardjono

Read More

Badai Matahari Terjadi Antara 2012-2015 [Apakah akan terjadi kiamat????] ALLOH HU ALAM

Film fiksi ilmiah '2012' yang menceritakan tentang terjadinya badai matahari (flare) bukan isapan jempol belaka. Flare diperkirakan akan terjadi antara tahun 2012-2015. Namun, tak serta merta hal itu melenyapkan peradaban dunia.

"Lapan memperkirakan puncak aktivitas matahari akan terjadi antara 2012 hingga 2015. Pada puncak siklusnya, aktivitas matahari akan tinggi dan terjadi badai matahari," ujar Kabag Humas Lapan Elly Kuntjahyowati dalam rilis yang diterima detikcom, Kamis (4/3/2010).

Flare tersebut, imbuhnya, merupakan salah satu aktivitas matahari selain medan magnet, bintik matahari, lontaran massa korona, angin surya dan partikel energetik. Ledakan-ledakan matahari itu, bisa sampai ke bumi. Namun, flare yang diperkirakan akan terjadi itu tak akan langsung membuat dunia hancur.

"Masyarakat banyak yang menghubungkan antara badai matahari dengan isu kiamat 2012 dari ramalan Suku Maya. Ternyata dari hasil pengamatan Lapan, badai matahari tidak akan langsung menghancurkan peradaban dunia," imbuhnya.

Efek badai tersebut, lanjut dia, yang paling utama berdampak pada teknologi tinggi seperti satelit dan komunikasi radio. Satelit dapat kehilangan kendali dan komunikasi radio akan terputus.

"Efek lainnya, aktivitas matahari berkontribusi pada perubahan iklim. Ketika aktivitas matahari meningkat maka matahari akan memanas. Akibatnya suhu bumi meningkat dan iklim akan berubah," jelas Elly.

Partikel-partikel matahari yang menembus lapisan atmosfer bumi akan mempengaruhi cuaca dan iklim. Dampak ekstremnya, bisa menyebabkan kemarau panjang. Namun hal ini masih dikaji oleh para peneliti.

Lapan pun berniat mensosialisasikan dampak aktivitas matahari ini ke masyarakat. Sosialisasi Fenomena Cuaca Antariksa 2012-2015 pun akan digelar di Gedung Pasca Sarjana lantai 3, Universitas Udayana, Jl Jenderal Sudirman, Denpasar, Bali pada 9 Maret 2010 pukul 11.00 Wita

Read More